operaciones con logaritmos

1. 1. OPERACIONES CON LOGARITMOS Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
2. 2. Definición de logaritmo El logaritmo en base b (b > 0) de un número N es el exponente X al que hay que elevar la base para obtener dicho número Logaritmo en base “b” del número N Base del logaritmo
3. 3. Primeros ejemplos: aplicación de la definición
4. 4. Logaritmos y potencias Cómo hemos podido comprobar, los logaritmos y las potencias tienen relación, de hecho la función logarítmica y la función exponencial son inversa una de la otra.
5. 5. Algunas consideraciones importantes • El logaritmo de un número menor o igual a cero no existe. • El logaritmo de 1 siempre es 0, independientemente de la base • Si no se indica la base de un logaritmo, se trata de un logaritmo decimal (base 10) • El logaritmo neperiano tiene por base el número real neperiano se indicará cómo ln. e. El logaritmo
6. 6. Propiedades de los logaritmos Cambio de base de un logaritmo
7. 7. Ejemplos de aplicación de las propiedades I Logaritmo de una potencia Logaritmo de un cociente Logaritmo de una potencia Interpretamos una raíz como potencia Logaritmo de un cociente
8. 8. Ejemplos de aplicación de las propiedades II Suma de logaritmos Logaritmo de un cociente Logaritmo de la base Logaritmo de la base Logaritmo de una potencia
9. 9. Expresión de un logaritmo en función del valor de un logaritmo conocido Supongamos que 0,301 es el valor aproximado de log2 y queremos calcular log(16/5). La estrategia consiste en manipular el número de tal forma que lo podamos expresar como producto, división o potencia del logaritmo conocido y de potencias de la base. Sustituimos el valor, obteniendo el valor aproximado Aplicamos la propiedad una potencia Aplicamos la propiedad del logaritmo de un cociente Expresamos la fracción como potencias de 2 y de 10 (el logaritmo conocido y la base)
10. 10. La función logaritmo es inyectiva • Se dice que una función es inyectiva cuando a distintos elementos del conjunto origen le corresponden distintas imáges. • Esta propiedad de la función permite reducir en un gran número de ocasiones el cálculo con logaritmos en un cálculo sin logaritmos. 1 2 a b e 4 5 i c
11. 11. Aplicación
12. 12. Ejemplos 1
13. 13. Ejemplos 2
14. 14. log x 1 2 log a Ejemplos 3
15. 15. ECUACIONES LOGARÍTMICAS
16. 16. Ecuación logarítmica: método de resolución Cuando en una ecuación aparecen uno o varios logaritmos, se denomina ecuación logarítmica. El procedimiento general para poder resolver este tipo de ecuaciones consiste: Aplicar las propiedades de los logaritmos y expresar cada uno de los miembros de la ecuación como un único logaritmo Posteriormente, cómo la función logaritmo es inyectiva, será posible obtener una ecuación que no tenga logaritmos. Por ultimo, habrá que comprobar que los resultados de esta ecuación nos proporcionan valores válidos para la ecuación original.
17. 17. Ejemplo 1 • Aplicamos la propiedad de la potencia Aplicamos la propiedad de la diferencia de logaritmos Los miembros de la ecuación son logaritmos, por tanto pasamos a resolver una ecuación de segundo grado La solución que aceptamos es x=12, la otra solución no es válida al no existir el logaritmo de un número negativo
18. 18. Ejemplo 2 • Expresamos los términos numéricos en forma de logaritmo. Así 1 pasa a expresarse como el logaritmo de 10. Los miembros de la ecuación son logaritmos, por tanto pasamos a resolver una ecuación de segundo grado Aceptamos ambas soluciones
19. 19. Ejemplo 3 Aplicamos el cambio de variable t = log x , de esta forma obtenemos una ecuación de segundo grado que resolvemos Para cada uno de los valores obtenidos deshacemos el cambio
20. 20. ECUACIONES EXPONENCIALES
21. 21. Ecuaciones exponenciales: método de resolución Cuando en una ecuación aparecen uno o varias potencias en cuyo exponente aparecen incógnitas, se denomina ecuación exponencial. El procedimiento general para poder resolver este tipo de ecuaciones consiste: Aplicar las propiedades de las potencias y expresar cada uno de los miembros de la ecuación como una única potencia Posteriormente, cómo la función exponencial es inyectiva, será posible igualar los exponentes. Por ultimo, habrá que comprobar que los resultados de esta ecuación nos proporcionan valores válidos para la ecuación original. En otras ocasiones, se habrá de realizar un cambio de variable.
22. 22. Ejemplo 1
23. 23. Ejemplo 2
24. 24. SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
25. 25. Método de resolución En este tipo de sistemas se aplican las ideas que se han aplicado en el método de resolución de una ecuación. En definitiva se trata de convertir el sistema de ecuaciones en un sistema que sepamos resolver.
26. 26. Ejemplo 1
27. 27. Ejemplo 2 Resolved el sistema
28. 28. Ejemplo 3