Hay un grupo de propiedades que te ayudan a simplificar expresiones complejas de logaritmos. Como los logaritmos se relacionan estrechamente con las expresiones exponenciales, no es de sorprender que las propiedades de los logaritmos se parezcan a las propiedades de los exponentes. Como un recordatorio, aquí están las propiedades de los exponentes.
Propiedades de los exponentes
Producto de potencias:
Cociente de potencias:
Potencia de una potencia:
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Una propiedad importante y básica de los logaritmos es logb bx = x. Esto tiene sentido cuando conviertes el enunciado a su equivalente en ecuación exponencial. ¿El resultado? bx = bx.
Encontremos el valor de yen
. Recuerda 
, entonces significa que 
y y debe ser 2, lo que significa 
. Obtendrás la misma respuesta que 
es igual a 2 usando la propiedad logb bx = x.
. Recuerda , entonces significa que y y debe ser 2, lo que significa . Obtendrás la misma respuesta que es igual a 2 usando la propiedad logb bx = x.
Recuerda que las propiedades de los exponentes y logaritmos son muy similares. Con los exponentes, para multiplicar números con la misma base, sumas los exponentes. Con los logaritmos, el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos.
Logaritmo de un producto
El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos:
logb (MN) = logb M + logb N
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Intentemos con el siguiente ejemplo.
Ejemplo
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Problema
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Usar la propiedad del producto para reescribir
 . | |
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Usa la propiedad del producto para escribir como una suma.
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Simplifica cada sumando, si es posible. En este caso, puedes simplificar ambos sumandos.
Reescribe log2 4 como log2 22 y log2 8 como log2 23, luego usa la propiedad logb bx = x.
O, reescribe log2 4 = y como 2y = 4 para encontrar y = 2 y log2 8 = ycomo 2y = 8 para encontrar y = 3.
Usa el método que más tenga sentido para ti.
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Respuesta
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Otra manera de simplificar 
sería multiplicando 4 y 8 como primer paso.
sería multiplicando 4 y 8 como primer paso.
¿Obtienes la misma respuesta 
que en el ejemplo!
que en el ejemplo!
Observa la similaridad con la propiedad del exponente: bmbn = bm +n, mientras que logb (MN) = logb M + logb N. En ambos casos, un producto se vuelve una suma.
Ejemplo
| ||
Problema
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Usar la propiedad del producto para reescribir log3 (9x).
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log3 (9x) = log3 9 + log3 x
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Usa la propiedad del producto para escribir como una suma.
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log3 9 + log3 x =
log3 32 + log3 x =
2 + log3 x
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Simplifica cada sumando, si es posible. En este caso, puedes simplificar log3 9 pero no log3 x.
Reescribe log3 9 como log3 32, luego usa la propiedad logb bx = x.
O, simplifica log3 9 convirtiendo log3 9 = y a 3y = 9 y encuentra que y = 2.
Usa el método que más tenga sentido para ti.
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Respuesta
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log3(9x) = 2 + log3 x
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Si el producto tiene muchos factores, sólo sumas los logaritmos individuales:
logb (ABCD) = logb A + logb B + logb C + logb D.
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